domingo, 7 de noviembre de 2010

Momentos de Inercia de Masa

Momentos de Inercia de Masa
Antes de poder empezar a definir el concepto de momento de inercia es necesario  entender lo que es  un centroide y como se obtiene. El centroide de un área se refiere al punto que define el centro geométrico del área.

 
la integral depende solo de las propiedades geométricas  del área transversal . En mecánica esta cantidad lleva el nombre de  momento de inercia  del área de la sección respecto al eje centroidal , cuando y se mide desde tal eje.  Es una constante definida para la forma del área en particular y se designan por “ I”
 
 
Estas integrales , conocidas como los momentos  rectangulares de inercia del area A, se pueden evaluar con facilidad si se relaciona a da como una tira delgada paralela a uno de los ejes  coordenados.

 
Para simplificar los cálculos se hace uso de formulas preestablecidas en la obtención del momento de inercia  para formas geométricas comunes
 


 Considere una pequeña masa m que esta montada sobre una barra,  la cual puede rodar libremente sobre un eje AA´. Si se aplica un par al sistema, la barra y la masa las cuales estaban  en reposo comienzan a girar alrededor de AA. Por tanto el producto  de r2m proporciona una medida de inercia, esto es, una medida de la resistencia que ofrece el sistema  cuando se trata de ponerlo en  movimiento. Por esta razón el producto  de r2m  es llamado el momento de inercia de la masa   con respecto  al eje AA´.


 
El momento de inercia es igual a la integral:
 
 
El  momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje coordenado puede expresarse  en términos  de la coordenadas  x, y y z. Del elemento de la masa dm se pueden obtener expresiones similares para  los momentos de inercia con respecto a los ejes x, y y z


 
Con base a la figura anterior  se puede verificar que la suma de representa el cuadrado de la distancia OB. En forma análoga representan, respectivamente los cuadrados de las distancias entre los ejes  x y y entre los ejes z y . Por tanto, representando con d  la distancia entre un eje arbitrario AA´ y un eje centroidal  paralelo  BB´, se puede escribir la siguiente relación general entre el momento de Inercia  I del cuerpo  con respecto  a AA´ y su momento de Inercia con respecto a BB´.  
 

 
Considere un cuerpo  de masa  m. Sea Oxyz  un sistema de coordenadas rectangulares cuyo origen esta localizado en el punto arbitrario O y sea Gxý´z´ un sistema de ejes  centroidales paralelo, esto es,  un sistema cuyo origen esta en el centro de gravedad G del cuerpo y cuyos ejes son paralelos


se puede expresar el momento de inercia  del cuerpo con respecto al eje x
se puede expresar el momento de inercia  del cuerpo con respecto al eje x

 

 
Considere una placa delgada  de espesor uniforme t , la cual esta hecha de material homogéneo de densidad p (densidad = masa por unidad de volumen). El momento  de inercia de masa de la placa con respecto a un eje AA´ esta dado  por:
 
 
Como dm = pt dA, se escribe



 
En el caso  de una placa rectangular de lados a y b, se obtienen los siguientes momentos de inercia  de masa con respecto a ejes que pasan a través del centro de gravedad de la placa.
 


 
En el caso de una placa circular se escribe:
 


 
En la siguiente tabla  se muestran los momentos de inercia  de algunas formas comunes . Para un cuerpo que consiste de varias de estas formas simples, se puede obtener el momento de inercia de dicho cuerpo con respecto a une eje dado calculando primero los momentos de inercia de las partes que los constituyen con respecto al eje deseado y sumándolos  después.
 











Y, en forma similar:

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