Momentos de Inercia de Masa
Antes de poder empezar a definir el concepto de momento de inercia es necesario entender lo que es un centroide y como se obtiene. El centroide de un área se refiere al punto que define el centro geométrico del área.
•la integral depende solo de las propiedades geométricas del área transversal . En mecánica esta cantidad lleva el nombre de momento de inercia del área de la sección respecto al eje centroidal , cuando y se mide desde tal eje. Es una constante definida para la forma del área en particular y se designan por “ I”
Estas integrales , conocidas como los momentos rectangulares de inercia del area A, se pueden evaluar con facilidad si se relaciona a da como una tira delgada paralela a uno de los ejes coordenados.
•Para simplificar los cálculos se hace uso de formulas preestablecidas en la obtención del momento de inercia para formas geométricas comunes
Considere una pequeña masa m que esta montada sobre una barra, la cual puede rodar libremente sobre un eje AA´. Si se aplica un par al sistema, la barra y la masa las cuales estaban en reposo comienzan a girar alrededor de AA. Por tanto el producto de r2m proporciona una medida de inercia, esto es, una medida de la resistencia que ofrece el sistema cuando se trata de ponerlo en movimiento. Por esta razón el producto de r2m es llamado el momento de inercia de la masa con respecto al eje AA´.
•El momento de inercia es igual a la integral:
El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje coordenado puede expresarse en términos de la coordenadas x, y y z. Del elemento de la masa dm se pueden obtener expresiones similares para los momentos de inercia con respecto a los ejes x, y y z
•Con base a la figura anterior se puede verificar que la suma de representa el cuadrado de la distancia OB. En forma análoga representan, respectivamente los cuadrados de las distancias entre los ejes x y x´ y entre los ejes z y z´. Por tanto, representando con d la distancia entre un eje arbitrario AA´ y un eje centroidal paralelo BB´, se puede escribir la siguiente relación general entre el momento de Inercia I del cuerpo con respecto a AA´ y su momento de Inercia con respecto a BB´.
•Considere un cuerpo de masa m. Sea Oxyz un sistema de coordenadas rectangulares cuyo origen esta localizado en el punto arbitrario O y sea Gxý´z´ un sistema de ejes centroidales paralelo, esto es, un sistema cuyo origen esta en el centro de gravedad G del cuerpo y cuyos ejes son paralelos
se puede expresar el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje x
se puede expresar el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje x
•Considere una placa delgada de espesor uniforme t , la cual esta hecha de material homogéneo de densidad p (densidad = masa por unidad de volumen). El momento de inercia de masa de la placa con respecto a un eje AA´ esta dado por:
Como dm = pt dA, se escribe
•En el caso de una placa rectangular de lados a y b, se obtienen los siguientes momentos de inercia de masa con respecto a ejes que pasan a través del centro de gravedad de la placa.
•En el caso de una placa circular se escribe:
•En la siguiente tabla se muestran los momentos de inercia de algunas formas comunes . Para un cuerpo que consiste de varias de estas formas simples, se puede obtener el momento de inercia de dicho cuerpo con respecto a une eje dado calculando primero los momentos de inercia de las partes que los constituyen con respecto al eje deseado y sumándolos después.
Y, en forma similar:
