DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO TRIDIMENCIONAL MEDIANTE INTEGRACIÓN.

DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO TRIDIMENCIONAL MEDIANTE INTEGRACIÓN.

El momento de inercia de un cuerpo tridimensional se obtiene elevando al cuadrado la integral I =∫r2 dm. Si el cuerpo está hecho de material homogéneo de densidad p, el elemento de masa es igual a pdV y se puede escribir I=p∫r2 dV. .Esta integral depende solo de la forma del cuerpo, de tal modo, para calcular el momento de inercia de un cuerpo tridimensional, por lo general es necesario efectuar una integración triple, o al menos doble.

Sin embrago, si el cuerpo posee  dos planos de simetría, es posible determinar el momento de inercia con una sola integración al elegir como elemento de masa dm una placa delgada que es perpendicular a los planos de simetría. En el caso de cuerpos de revolución, el elemento de masa sería un disco delgado.

 Utilizando la formula ICC= IAA' + IBB=  ½ mr2', el momento de inercia con respecto al eje de revolución. Su momento de inercia con respecto a cada uno de los otros ejes  de coordenadas se obtiene utilizando la formula IAA' = IBB' = ¼ mr2 y el teorema de ejes paralelos. La integración de la expresión obtenida produce el momento de inercia deseado del cuerpo.